フィボナッチ 数列 と は。 フィボナッチ数列をわかりやすく解説!一般項の求め方をマスターしよう

フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけであることの証明

フィボナッチ 数列 と は

2.フィボナッチ数列の解き方:三項間漸化式の特性方程式 フィボナッチ数列の計算をするために、三項間漸化式の特性方程式について押さえておきましょう。 特性方程式という単語は高校数学の教科書では出てきませんが、知っていると便利ですので、授業や参考書では見聞きすることもあるでしょう。 特性方程式とは? 特性方程式は式変形のために用いる式です。 特性方程式の成り立ちについては後ほど詳しく説明するので、まずは式変形をざっと見ていきましょう。 特性方程式の成り立ち ここで、特性方程式が成立する理由を解説しましょう。 3.フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項を求めてみましょう。 フィボナッチ数列の一般項は、三項間漸化式を求める方法をそのまま適用すれば、求められます。 ただし、よく出てくる 三項間漸化式の問題は、特性方程式の解が整数で求められるのに対して、フィボナッチ数列ではそうではありません。 慣れていないと混乱するかもしれませんので、しっかりついてきてください。 二次方程式の解の公式を使うことで求められます。 の値を代入すると、 という、フィボナッチ数列の一般項を導くことができます。 この値は のときも同様に求めることができます。 もちろん同じ値になります。 4.フィボナッチ数列と黄金比 黄金比とは の値で最も美しい比であるといわれます。 がフィボナッチ数列の一般項を求める際の、特性方程式の正の解であることにお気づきでしょう。 辺の比が黄金比になるような長方形を、黄金長方形といいます。 フィボナッチ数列の隣り合う項の比は、黄金比に近づいていくことが知られています。 例えば、5:8 を計算してみましょう。 625 黄金比に近づきました。 61904…… というようにどんどん黄金比に近づいてゆきます。 そのため、 フィボナッチ数列の隣り合う項を用いて長方形をつくると、黄金長方形に近い長方形をつくることができます。 問.7段の階段があります。 この階段を一番下から上がる場合の上がり方が何通りあるかを答えよ。 ただし、階段は「1段ずつ上がる」「1段飛ばしで上がる」方法があり、これらを組み合わせて上がっていくこととする。 一見、難しそうです。 初めてこの問題を見て、すぐに答えがわかった方は、かなり頭の回転が速い方でしょう。 しかし、実は この問題の答えは、フィボナッチ数列の項と一致しているのです。 では、なぜフィボナッチ数列が答えになるのでしょうか。 順番に考えていきましょう。 1段目に到達するには何通りの方法があるでしょう。 もちろん、 「0段目から『1段ずつ上がる』を選択する」という1通りです。 2段目に到達するには何通りの方法があるでしょう。 これは、 「1段目から『1段ずつ上がる』を選択する」場合と、「0段目から『1段飛ばしで上がる』を選択する」場合が考えられます。 つまり、 2通りです。 3段目に到達するには何通りの方法があるでしょう。 「2段目から『1段ずつ上がる』を選択する」場合と、「1段目から『1段飛ばしで上がる』を選択する」場合が考えられますよね。 より一般的に考えます。 n 段目に到達するにはどのような方法があるかを考えましょう。 「 n段目から『1段ずつ上がる』を選択する」場合と、「 n-2段目から『1段飛ばしで上がる』を選択する」場合が考えられますよね。 これを数式で表しましょう。 これは、フィボナッチ数列の定義式そのものですよね。 このような理屈から、階段の上がり方問題の答えが、フィボナッチ数列の項になるのです。

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【数学】フィボナッチ数列と一般項の求め方|ペンちゃんとお勉強

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フィボナッチ数列とは1、1、2、3、5、8、13 ...というように「前の2つの数を足したものが次の数になる」という規則に基づいている数列です。 フィボナッチ数列は後に説明する黄金比と深い関係があり、自然界に密接に関係のある数列です。 一般的に、フィボナッチ数列の一般項を求めることは難しいとされていますが、ここでは、フィボナッチ数列の一般項の求め方を誰でも簡単に理解できるように説明します。 また、フィボナッチ数列の発展的な話題として、黄金比についても説明しますので興味のある方は参考にしてみてください。 1 一般的な三項間漸化式の解き方 フィボナッチ数列の一般項の求めるのには三項間漸化式を解けるようになることが重要です。 三項間漸化式を解けるようになることがフィボナッチ数列の一般項を求められるようになる近道です。 また、フィボナッチ数列の一般項の求め方には様々な方法がありますが、ここでは一番オーソドックスな解き方を説明することとします。 フィボナッチ数列の一般項を求めるには三項間漸化式と解くことになります。 まずは三項間漸化式の中でも計算が簡単な場合を考えてみます。 これは等比数列を表す漸化式です。 同様のことを三項間漸化式の場合も考えることで、その一般項を求めることができます。 詳しいことは追って説明しますが、三項間漸化式の一般項を求める手順は次の通りです。 1-4 式を整理して一般項を求める。 このようにして、三項間漸化式を解く、すなわち、三項間漸化式で表される数列の一般項を求めることができました。 2 フィボナッチ数列の一般項を求め方 先ほどは三項間漸化式の中でも計算が簡単な場合を扱いました。 フィボナッチ数列の一般項を求める場合、先ほどの漸化式を解くのと手順は全く変わりません。 ただ、計算が面倒になるので、計算ミスがないように気をつける必要があります。 ここで三項間漸化式の解き方を復習しましょう。 3.式を整理して一般項を求める。 このような複雑な数を含む計算をする場合は置き換えが非常に有効です。 さらにもっと発展的な内容について知りたい方は3以降を読んでください。 やや発展的な内容で、大学入試で問われることは少ないですが、フィボナッチ数列についてよりもっと詳しいことが知りたい!という方は読み進めていってください。 黄金比はフィボナッチ数列と深い関係があり、またこの黄金数は自然界と密接に関わっていると言われています。 実際に、ひまわりの種の配列(並び順)やオウムガイの殻の渦巻きはどちらもランダムなものではなく、フィボナッチ数列に基づいて形成されたものであるといわれています。 黄金比は自然界によく出現する比であることから「美しい比」であるといわれています。 実際、ギリシャのパルテノン神殿、ミロのビーナス、葛飾北斎の富嶽三十六景には黄金比が登場しています。 確かに、いずれの作品も美しいですよね。 黄金比とは何か、探っていきましょう。 3-1 黄金比(黄金数)とは 黄金比は「美しい比」であると紹介しました。 これを数学的に考えていきます。 以上からわかるように、黄金数はフィボナッチ数列と深く関係していることがわかります。 言い換えれば、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言えるのです。 5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本 フィボナッチ数列についてしっかり書かれた本は意外と少なく、高校の数学の参考書でも、一般項を求めることまでしか書かれていない場合がほとんどです。 大学入試の対策としては今回紹介した内容さえしっかり理解できれば十分ですが、さらにもっと知りたい!数学の力をもっと伸ばしたい!という方にお薦めの本を紹介します。 また、数学以外に苦手科目がある人はそちらを優先してください。 5-1 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著 この本はフィボナッチ数列を単独の章で取り扱っている唯一の高校数学の参考書です。 ここでは紹介できなかったフィボナッチ数列の性質や、フィボナッチ数列の階差数列などについて詳しく書かれています。 また、フィボナッチ数列についての記述も多く、また問題形式になっているので、今回紹介したフィボナッチ数列を復習し、もう一度丁寧に勉強したい方はこの本を買うといいでしょう。 植物の葉は黄金角に基づいて生えていくといわれています。 このことについての記述が大変詳しいです。 そのため,フィボナッチ数列についてイメージがもてなかった人にはこの本がぴったりです。 この本は問題を解く、というよりもむしろ読み物なので、どんどん問題を解きたい!という人には向きません。 黄金数の連分数展開について知りたい人はこの本を購入するといいでしょう。 これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。 ここで紹介した三項間漸化式やフィボナッチ数列の漸化式、黄金比は大学入試でたびたび出題されています。 この手の問題は一度経験しているかどうかで本番では大きな差につながります。 今回紹介した内容をしっかり理解し、何も見ずに自分の手で再現することができるようになれば、大学入試でフィボナッチ数列の問題が出題されても大丈夫でしょう。 そのためには繰り返し自分の手を動かして考えることが大切です! カテゴリー• 161•

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【神秘】数学美 フィボナッチ数列

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2.フィボナッチ数列の解き方:三項間漸化式の特性方程式 フィボナッチ数列の計算をするために、三項間漸化式の特性方程式について押さえておきましょう。 特性方程式という単語は高校数学の教科書では出てきませんが、知っていると便利ですので、授業や参考書では見聞きすることもあるでしょう。 特性方程式とは? 特性方程式は式変形のために用いる式です。 特性方程式の成り立ちについては後ほど詳しく説明するので、まずは式変形をざっと見ていきましょう。 特性方程式の成り立ち ここで、特性方程式が成立する理由を解説しましょう。 3.フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項を求めてみましょう。 フィボナッチ数列の一般項は、三項間漸化式を求める方法をそのまま適用すれば、求められます。 ただし、よく出てくる 三項間漸化式の問題は、特性方程式の解が整数で求められるのに対して、フィボナッチ数列ではそうではありません。 慣れていないと混乱するかもしれませんので、しっかりついてきてください。 二次方程式の解の公式を使うことで求められます。 の値を代入すると、 という、フィボナッチ数列の一般項を導くことができます。 この値は のときも同様に求めることができます。 もちろん同じ値になります。 4.フィボナッチ数列と黄金比 黄金比とは の値で最も美しい比であるといわれます。 がフィボナッチ数列の一般項を求める際の、特性方程式の正の解であることにお気づきでしょう。 辺の比が黄金比になるような長方形を、黄金長方形といいます。 フィボナッチ数列の隣り合う項の比は、黄金比に近づいていくことが知られています。 例えば、5:8 を計算してみましょう。 625 黄金比に近づきました。 61904…… というようにどんどん黄金比に近づいてゆきます。 そのため、 フィボナッチ数列の隣り合う項を用いて長方形をつくると、黄金長方形に近い長方形をつくることができます。 問.7段の階段があります。 この階段を一番下から上がる場合の上がり方が何通りあるかを答えよ。 ただし、階段は「1段ずつ上がる」「1段飛ばしで上がる」方法があり、これらを組み合わせて上がっていくこととする。 一見、難しそうです。 初めてこの問題を見て、すぐに答えがわかった方は、かなり頭の回転が速い方でしょう。 しかし、実は この問題の答えは、フィボナッチ数列の項と一致しているのです。 では、なぜフィボナッチ数列が答えになるのでしょうか。 順番に考えていきましょう。 1段目に到達するには何通りの方法があるでしょう。 もちろん、 「0段目から『1段ずつ上がる』を選択する」という1通りです。 2段目に到達するには何通りの方法があるでしょう。 これは、 「1段目から『1段ずつ上がる』を選択する」場合と、「0段目から『1段飛ばしで上がる』を選択する」場合が考えられます。 つまり、 2通りです。 3段目に到達するには何通りの方法があるでしょう。 「2段目から『1段ずつ上がる』を選択する」場合と、「1段目から『1段飛ばしで上がる』を選択する」場合が考えられますよね。 より一般的に考えます。 n 段目に到達するにはどのような方法があるかを考えましょう。 「 n段目から『1段ずつ上がる』を選択する」場合と、「 n-2段目から『1段飛ばしで上がる』を選択する」場合が考えられますよね。 これを数式で表しましょう。 これは、フィボナッチ数列の定義式そのものですよね。 このような理屈から、階段の上がり方問題の答えが、フィボナッチ数列の項になるのです。

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